HISTORIA DE LAS MATEMATICAS



1.- Información útil que permiten recrear el estudio de la Historia de las Matemáticas.

    Matemática, sin duda alguna, es un legado cultural proveniente de las realidades que subyacen en el mundo físico y que trascienden desde los primeros hombres (en la prehistoria), a través de la historia antigua (Babilonia - Mesopotamia -, Egipto,  y Grecia, entre otros) ; a través de la historia del hombre moderno y post-moderno, cuyo producto no deja de estar construyéndose con el enriquecimiento incesante del conocimiento,  hasta la actualidad. Es recomendable  que todo investigador de las áreas de la Física, Matemática e Ingeniería,  se de un buen paseo por la Historia de las Matemáticas; en ella podrá encontrarse con problemas resueltos y otros que aun no se han resuelto.
1.1.- Observemos el enfoque mostrado en la siguiente tabla resumen que  puede enriquecernos y enriquecerse, aun más, con nuestras propias investigaciones y experiencias significativas.

Un resumen de la historia de las matemáticas en el mundo antiguo, Chino

Egipcios, Mesopotámicos y Griegos e inicios del mundo moderno. Para facilitar el desarrollo de esta actividad, el estudiante puede disponer de la siguiente tabla de resumen, para mejorarla:

3000 A.C.- 2500 A.C.	Los textos de matemática más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, algunos textos cuneiformes tienen más de 5000 años de edad. Se inventa en China el ábaco, primer instrumento mecánico para calcular. Se inventan las tablas de multiplicar y se desarrolla el cálculo de áreas.
1600 A.C  aprox.	El Papiro de Rhind, es el principal texto matemático egipcio, fué escrito por un escriba bajo el reinado del rey hicso Ekenenre Apopi  y contiene lo esencial del saber matemático de los egipcios. Entre estos, proporciona unas reglas para cálculos de adiciones y sustracciones de fracciones, ecuaciones simples de primer grado, diversos problemas de aritmética, mediciones de superficies y volumenes.
entre 600 y 300 A.C.	La matemática griega es conocida gracias a un prólogo histórico escrito en el siglo V D.C. por el filósofo Proclo. Este texto nombra a los geómetras griegos de aquel período, pero sin precisar la naturaleza exacta de sus descubrimientos.
Del 550 al 450 A.C.	Se establece la era pitagórica. Pitágoras de Samos, personaje semilegendario creador de un gran movimiento metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental, donde destaca el famoso Teorema de Pitágoras, el cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los pitagóricos llevó a atribuirselo a su maestro. Con respecto a la aritmética el saber de los pitagóricos era enorme. Fueron los primeros en analizar la noción de número y en establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmética y la geometría. Definieron los número primos, algunas progresiones y precisaron la teoría de las proporciones. Los pitagóricos propagaban de que todo podía expresarse por medio de números, pero luego tuvieron que aceptar que la diagonal de un cuadrado era inconmesurable con el lado del cuadrado.
Hacia el 460 A.C	El mercader Hipócrates de Quíos, se convirtió en el primero en redactar unos Elementos, es decir, un tratado sistemático de matemáticas.
alrededor de 406 a 315 A.C.	El astrónomo Eudoxo, establece una Teoría de la Semejanza.
276-194 A.C.	El matemático griego Eratóstenes ideó un método con el cual pudo medir la longitud de la circunferencia de la tierra.
300-600	Los hindúes conocen el sistema de numeración babilónica por posición y lo adaptan a la numeración decimal, creando así el sistema decimal de posición, que es nuestro sistema actual.
1100	Omar Khayyam desarrolla un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado.
1525	El matemático alemán Christoff Rudolff emplea el símbolo actual de la raíz cuadrada
1545	Gerolamo Cardano publica el método general para resolver ecuaciones de tercer grado
1550	Ferrari da a conocer el método general de resolución de una ecuación de cuarto grado
1591	Francois Viète escribió In artem analyticem isagoge en el cual se aplicaba por primera vez el álgebra a la geometría.
1614	Napier inventa los logaritmos.
1617	John Napier inventa un juego de tablas de multiplicación, llamada "los huesos de Napier". Posteriormente publicó la primera tabla de logaritmos.
1619	Descartes crea la Geometría Analítica.
1642	El matemático Blaise Pascal construye la primera máquina de calcular, conocida como la Pascalina, la cual podía efectuar sumas y restas de hasta 6 cifras.
1684	Se crea, casi simultáneamente, el Cálculo Infinitesimal por Newton y Leibniz.
1743	Langlois inventa el pantógrafo.
1746	D'Alembert enuncia y demuestra parcialmente que "cualquier polinomio de grado n, tiene n raíces reales o complejas".
1761	Johann Lambert prueba que el número p es irracional.
1777	Leonard Euler   matemático suizo, simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra i (de imaginario).
1798	El matemático italiano Paolo Ruffini  enuncia y parcialmente demuestra  la imposibilidad de resolver ecuaciones de 5º grado.
1812	Laplace publicó en París su Théorie analytique des probabilités donde hace un desarrollo riguroso de la teoría de la probabilidad con aplicaciones a problemas demográficos, jurídicos y explicando diversos hechos astronómicos.
1817	Bernhard Bolzano presenta un trabajo titulado "Una prueba puramente analítica del teorema que establece que entre dos valores donde se garantice un resultado opuesto, hay una raíz real de la ecuación". Dicha prueba analítica se conoce hoy como teorema de Bolzano
1822	Poncelet descubre lo que él llamó "Propiedades Proyectivas de las Figuras"
1831	G.W.Leibniz  pone de manifiesto el valor del concepto de grupo, abriendo la puerta a las más importantes ideas matemáticas del mundo contemporáneo.
1872-1895	Es creada la Teoría de Conjuntos por el matemático ruso Georg Cantor.
1904	El matemático sueco Niels F. Helge von Koch  construye la curva que lleva su nombre.
1924	Se instauran las medallas fields con el fin de premiar a matemáticos destacados.
1975	Mitchell Feingenbaum descubre un modelo matemático que describe la transición del orden al caos.
1977	Los matemáticos K. Appel y W. Haken resuelven el histórico teorema de los cuatro colores con ayuda de un computador.

1.2.-Mas información sobre la Historia de las Matemáticas 

    A continuación se muestra un vinculo de lectura a compartir sobre la historia de las matemáticas. Aquí se invita al estudiante motivado para que lea, analice, y lo sintetice. Para comprender los orígenes de las matemáticas se recomienda hacer frente a las actividades o asignaciones respectivas.

http://www.edu.mec.gub.uy/biblioteca_digital/libros/anonimos/Anonimo%20-%20Historia%20de%20las%20Matematicas.pdf

Asignación: Con la información dada los estudiantes realizaran una tabla de doble entrada donde reflejen los aportes mas significativos de los matemáticos mencionados y sus respectivas ubicaciones de lugar y tiempo.  Es recomendable que los estudiante realicen los registros necesarios y los compartan con sus compañeros.

2.- Textos recomendados para el estudio de la Historia de las Matemáticas:

    A continuación se presentan otro grupo de enlaces o vínculos, con Internet, que permiten conectarnos con algunos textos recomendados y dados en pdf. para la construcción del estudio de la Historia de las Matemáticas:

http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020150847/1020150847.PDF

http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20filosofia%20de%20las%20matematicas.pdf

Actividad: Leer por separado y detenidamente cada uno de los textos cuyos enlaces (o links) están dados arriba. Es recomendable, después de la lectura que los estudiantes hagan un análisis crítico y una síntesis, donde se resalten los aportes significativos. También es recomendable que los estudiantes realicen esta actividad de manera cooperativa en grupos de trabajo por tópico o sub-tema.

Operaciones con potencias en base 10

3.-Operaciones aritméticas con potencias en base 10

    Muchas de las operaciones requeridas dentro de la física son desarrolladas esencialmente mediante cantidades expresadas en notación científica; caben señalar entre ellas, las cuatro operaciones básicas; adición, sustracción, multiplicación, y división, además de la operación,  potencia de una potencia. Para ello es recomendable que los resultados sean de las operaciones mencionadas sean culminados en notación científica cuyo coeficiente sea finiquitado  mediante las cifras significativas y el redondeo.

3.1.- Adición y Sustracción

    En estas operaciones se presentan dos casos especialmente diferenciados; el primero, cuando las potencias  de base 10 tengan exponentes iguales; el segundo, cuando las potencias de base 10 tengan exponentes enteros diferentes.

 

Adición y Sustracción cuando las potencias de base 10 tengan exponentes iguales.

 

    Se procede de la siguiente manera: cada uno de los coeficientes decimales de los términos de cada potencia de base 10 , se asocian en un paréntesis, quedando como factor común de éstos, la potencia dada. Se resuelven las operaciones de adición y/o de sustracción de los coeficientes asociados y por último el resultado se escribe en notación científica. Para comprender este procedimiento, veamos el siguiente ejemplo tipo

Ejemplo tipo 1: (potencias de base 10 con exponentes iguales).

Efectuar: 5x10^4 + 3,5x10^4 - 0,5

Solución: Se asocian dentro de un paréntesis los coeficientes y 10^4 queda como factor común, así

                       = (5 + 3,5 - 0,5)x10^4

y operando mediante  cifras significativas, se obtiene:

                       = 8x10^4

 

Adición y Sustracción cuando las potencias de base 10 tengan exponentes diferentes.

 

Ejemplo tipo 2: (potencias de base 10 con exponentes diferentes).

Efectuar: 6x10^5 + 7,6x10^3

Solución: No se puede sumar directamente como en el  ejemplo 1. Antes de hacerlo, se deben convertir las cantidades dadas a notación científica de manera que las potencias tengan el mismo exponente:

Una forma de hacerlo es la siguiente:

6x10^5=(6x10^2)(10^5x10^-2) = 600x10^3

adicionando: 600x10^3 + 7,6x10^3 = 607,6x10^3

y escribiendo en notación científica queda: 6,07x10^5

Actividad:

Resuelva los siguientes ejercicios:

a.- 7x10^3 + 5x10^4

b.- 3x10^-2 + 4x10^-1 - 5x10^-3

 

 

    Para recrear la adición y sustracción con potencias de base 10, se le sugiere ver el siguiente video.

 

 

3.2.- Multiplicación y División.

    Si se desea tener una mejor comprensión en las operaciones, recodemos que: potencias de igual base que se multiplican tienen como resultado otra potencia de la misma base cuyo exponente resultante es la suma de los exponentes de las potencias producto, esto es, (10^m)x(10^n) = 10^(m + n). Y potencias de igual base que se dividen tienen por resultado otra potencia donde al exponente resultante se obtiene de restarle al exponente del dividendo el exponente del divisor, esto es, (10^m):(10^n) = 10^(m - n).

Ejemplo tipo 1:

Efectuar (5x10^4)x(3x10^3)

Solución:

    Separando el producto de los coeficientes y el producto de las potencias, se tiene que

               = (5x3)x(10^4x10^3)

realizando estos productos, se obtiene

               = 15x10^7

escribiendo en notación científica, el resultado es

               = 1,5x10^8

aplicando cifras significativas y redondeando, el resultado queda

               = 2x10^8

Ejemplo tipo 2:

Efectuar (25x10^7)(5x10^4)

Solución:

    Separando la división de los coeficiente y la división de las potencias con un producto, queda

               = (25:5)x(10^7:10^4)

realizando estas operaciones por separado, queda ya en notación científica

               = 5x10^3

    Para recrear una vez mas los procesos de multiplicación y división, se recomienda observar el siguiente video, cuantas veces considere necesario

 

 

 

Actividad:

Resuelva los siguientes ejercicios:

a.- (6x10^3)(4x10^-2)(5x10^5)

b.- (3x10^-4)(2x10^-5)

c.- Divida el resultado obtenido en (a) entre el resultado obtenido en (b)

3.3.- Potencia de una potencia.

    Para elevar una potencia a otra potencia, se coloca la misma base y se multiplican los exponentes entre si. Veamos los siguientes ejemplos tipo:

Ejemplo tipo 1:

Efectuar ((4x10^-2)x(3x10^6))^2

Solución:
    Por un lado se elevan a la potencia indicada cada uno de los coeficientes, y por otro lado, también se elevan las potencias de base 10, tal como sigue:
                    = (4^2x3^2)((10^-2)^2x(10^6)^2)
de donde queda
                    = (16x9)x(10^-4)x(10^12)
desarrollando los productos, se obtiene   
                    = 144x10^8
escribiendo en notación científica, se obtiene
                   = 1,44x10^10
y como el menor número de cifras significativas del producto en los coeficientes dados es uno, entonces resulta
                   = 1x10^10
Actividad:
Efectuar y escribir la respuesta en notación científica de
a.- (5x10^3)^2
b.- (3x10^-3)^3
c.- ((5x10^2)x(3x10^-1))^3

Análisis Dimensional

    2.- Análisis Dimensional (A.D.)

     Se trata de una herramienta muy poderosa con la cual cuenta el estudioso de las ciencias físicas y/o de  la ingeniería para la resolución de problemas, y verificación de situaciones, en las cuales lo que se busca es mantener la consistencia entre las dimensiones, de una ecuación. En el AD se presta especial atención a las dimensiones que participan en el estudio de un fenómeno físico. El Análisis Dimensional permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno físico en el cual están involucradas diversas magnitudes físicas;  las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. El análisis dimensional, en síntesis, (Figueroa, 2000, p.4)

 "...constituye una herramienta útil para: detectar errores en el resultado de un problema, deducir relaciones entre magnitudes físicas y revelar las leyes de escalamiento."

    En este sentido, la inconsistencia entre las dimensiones de una expresión física dada es un indicador que advierte la presencia de un error en la resolución de un problema, lo cual conduce a revisar exhaustivamente las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales como la longitud (L), la masa (M ) y el tiempo (T). En consecuencia Figueroa (2000), define dimensión de una magnitud a la combinación de magnitudes fundamentales que se emplean para caracterizar una magnitud física dada.
     La dimensión de una magnitud física A cualquiera, se representa dentro de un par de corchetes que contiene a la magnitud física, tal como sigue, [A], y se lee, "dimensión de la magnitud física A"; por ejemplo, [área]=L² se lee magnitud física del área.
   Véase la siguiente tabla de unidades fundamentales del sistema internacional de unidades:

Magnitud Física	Unidad	Símbolo
Longitud	metro	m
Tiempo	segundo	s
Masa	kilogramo	kg
Intensidad de corriente eléctrica	amperio	A
Temperatura	kelvin	K
Cantidad de sustancia	mol	mol
Intensidad luminosa	candela	cd

 

2.1- Formula Dimensional:

    Se le llama formula dimensional a aquella relación de  igualdad que se establece entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales; relación bajo la cual se inicia el proceso de análisis dimensional. A continuación se muestra una lista de formulas dimensionales básicas que el estudioso del análisis dimensional debe tener presente, y recordar.

2.1.1.- Formulas Dimensionales Básicas

    Las primeras siete formulas dimensionales corresponden a las magnitudes fundamentales en el S.I. , la siguiente corresponde a un número y las restantes, corresponden a  magnitudes derivadas de manejo frecuente.

1. [Longitud] = L

2. [Masa] = M

3. [Tiempo] = T

4. [Temperatura]= θ

5. [Intensidad eléctrica] = I

6. [Intensidad luminosa] = J

7. [cantidad de sustancia] = N

Es bien importante aceptar bajo convenio que un número o cantidad es adimensional, por lo cual, se debe considerar siempre que la dimensión de un número es la unidad, tal como sigue en la formula 8.

8. [número] = 1

9. [área] = [longitud][longitud]= L.L = L²

10. [Volumen] = L³

11. [Densidad] = M.L^-3

12.  [Velocidad] = LT^-1

13. [Aceleración] = LT^-2

14.   [Fuerza] = MLT^-2

15.   [Trabajo] = ML²T^_2

16.  [Energía] = ML²T^_2

17.  [Potencia] = ML²T^-3

18.  [Presión] = ML^-1T^-2

19.  [Período] = T

20.  [Frecuencia] = T^-1

21.  [Velocidad angular] = T^-1

22.   [Ángulo] = 1

23.   [Caudal] = L³T^-1

24.  [Aceleración angular] = T^-2

25.  [Carga eléctrica] = IT

26.   [Iluminación] = JL^-2

 

2.2.- Principio de Homogeneidad Dimensional

 

     En una formula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales. Este principio es esencial para el análisis dimensional, y se cumple para ambos lados o miembros de una ecuación y en todos sus términos.

Ejemplo tipo I: Dada la ecuación física para la posición de una partícula en  movimiento parabólico

y = y₀ + V₀t – gt²

donde:

y = altura, t = tiempo

Hallar las dimensiones de  y_0, V_0, y  g

Solución: De acuerdo con el principio de homogeneidad dimensional, se sabe que, todos los términos y en ambos lados de la ecuación son iguales, esto es,

[y] = [y₀] = [V₀t] = [gt²]

recordemos que la posición tiene por dimensión una unidad de longitud, de donde

1) L = [y] ,

2) L = [y₀]; de donde, [y₀] = L

3)  L = [V₀t];  [V₀] [t] =  L;   despejando [V₀] , queda, [V₀]= L/T =  LT^-1

4) L = [gt²] ; [g][t²] = L; despejando [g], queda, [g]= L/T² =  LT^-2

 

2.3.- Propiedades a considerar en el Análisis Dimensional

    Las propiedades a considerar en el análisis dimensional provienen de una variedad de situaciones presentadas en casos bien importantes o especiales para el análisis dimensional, Los casos a desarrollar son los siguientes;  Argumento de una función trigonométrica; argumento de una función logarítmica; argumento de un exponente; propiedad proveniente de la Adición y Sustracción de términos; propiedad proveniente del manejo de Fórmulas Empíricas.

2.3.1.- Argumento de una función trigonométrica

    El argumento de una función trigonométrica es un ángulo, a su vez, un ángulo es un número, la dimensión de un número es la unidad y por consecuencia, la dimensión de un argumento de una función trigonométrica es igual a la unidad. Tal como se señala en la lista de las fórmulas dimensionales básicas; formula identificada con el número 8.

 

Ejemplo Tipo: En la siguiente fórmula física, encuentra la dimensión de x

A = K Cos (2πxt)


Solución: Sabiendo que la dimensión de un ángulo es igual a la unidad, entonces queda
[2πxt] = 1
de donde:
[2π][x][t] = 1
luego:
[x] T = 1
despejando la dimensión de x, esto es, [x]
que para concluir, se obtiene:

[x] = T^-1

 

2.3.2.- Argumento de una función logarítmica

 

    Al igual que en el caso anterior, el argumento de una función logarítmica es igual a la unidad, ya que este argumento es un número. Para ejemplificar se dispone del siguiente ejemplo tipo.

 

Ejemplo tipo: Hallar la dimensión que resulta del producto de las dimensiones de A y de B para la siguiente ecuación

x = A Log (2πB);  con x : longitud

Solución: En este ejercicio se pide el producto designado por [A][B]. Para ello se acude al principio de homogeneidad dimensional, esto es 

[x] = [A log(2πB)]

de donde:

[x] = [A][log (2πB)]

para el argumento del logaritmo, se tiene que:

[2πB] = 1

[2π][B] = 1

luego:

[B] = 1    (1)

por otro lado, por ser el logaritmo un número, también se obtiene que

[log (2πB)] = 1

por lo tanto, para

[x] = [A][log(2πB)]

por homogeneidad

[x] = L,

y 

[A][log(2πB)] = L

esto es:

L = [A].1

de lo cual:

[A] = L

y concluyendo con lo pedido se ha obtenido que:

[A][B] = L.1 = L
 

 2.3.3.- Argumento de una función exponencial
 

     Ocurre lo mismo que en el argumento de una función exponencial, pues el argumento, como es lógico lo constituye el exponente de la mencionada función, de donde se desprende que  la dimensión de un exponente es la unidad, esto es,  [exponente] = [número] = 1. Para ejemplificar este caso, se dispone del siguiente ejemplo tipo.

 

Ejemplo Tipo: En la siguiente formula física, x = A.B^2pikf. Hallar la dimensión de K, siendo X: distancia; f:frecuencia.

 

Solución: Aquí se pide [k], y dado que k se encuentra dentro del exponente de B, entonces

[2πkf] = 1,

de donde

[2π][k][f] = 1

luego

1.[k] = 1/[f]= 1/T^-1

para concluir

[k]  = T

Siendo T, la dimensión obtenida de K.
 

2.3.4.- Propiedad para la adición y sustracción

En la adición y sustracción de términos dimensionales no se cumplen las reglas como ocurre en el algebra. La regla es: Si se suman y/o restan dos o más términos de una misma dimensión, el resultado es el mismo término dimensional, esto es, 

L + L = L

M - M = M

Ejemplo Tipo: En la siguiente formula física, hallar la dimensión de W.

W = (x - h)(x² +a)(a² +y)

Donde: h es temperatura.

Solución: De acuerdo con el principio de homogeneidad dimensional y la propiedad para la adición y sustracción, para cada factor binomial se deduce que

[x-h] =[x] - [h]=  θ - θ = θ
[x² +a ] = [x²]+[a] =  θ^{2 _} θ² =  θ²
[a² + y ] = [a²] + [y] = θ⁴ +θ⁴ = θ⁴
de donde[x-h][x² +a ][a² + y ] = θ.θ² θ⁴ = θ⁷
por lo tanto

[W]=θ⁷

Siendo θ⁷, la dimensión obtenida de W

2.3.5.- Propiedad para el manejo de formulas Empíricas

    Las fórmulas empíricas son todas aquellas fórmulas que se obtienen a través de ecuaciones provenientes de datos experimentales. La esencia de las formulas empíricas es determinar la consistencia de las diversas dimensiones que forman parte de estas, en otras palabras, esta esencia nos permite decidir si la ecuación es dimensionalmente correcta.

Ejemplo tipo I: Partiendo de la Observación, en un experimento se ha determinado  que la fuerza de roce del aire sobre una partícula que cae, está dada en términos de la densidad del aire ρ; en términos del área de sección transversal a la línea del movimiento A; y en términos de la velocidad V del objeto, según la fórmula: 
                                            F= kA^mρⁿV^r
 

en donde K es la constante de proporcionalidad. Encuentra la expresión de la fuerza de roce que ejerce el aire.

 

Solución: Con base en el principio de homogeneidad dimensional, ambos lados de la igualdad deben tener iguales sus dimensiones, de donde, se obtiene

                                                 [Froce]= [K][A]^m[ρ]ⁿ[V]^r

de acuerdo con las fórmulas dimensionales básicas de uso frecuente, dadas arriba, se obtiene:

[Froce]= MLT^-2 ; [A]^m= (  L² )^m= L^2m ; [ρ]ⁿ = ( M.L^-3 )ⁿ= MⁿL^-3n ; y  [V]^r =(LT^-1)^r = L^rT^-r

notemos también que K  es una constante, luego no posee dimensión, es 1 por convenio. Para la igualdad dada al inicio queda:

                       MLT^-2  = L^2m MⁿL^-3n L^rT^-r

operando producto de potencias de igual base, se obtiene la igualdad:

                       MLT^-2 = MⁿL^2m-3n+rT^-r

igualando exponentes de las potencias de igual base, queda que:

para M : n = 1;

para L : 2m -3n + r = 1;

para T: r = 2

haciendo los despejes respectivos y en forma recursiva, se obtienen los valores respectivos: m = 1; n = 1 y r = 2

de donde se obtiene

Froce = KAρV²

que es la fórmula empírica o experimental requerida.

Videos sobre análisis dimensional: Los siguientes video dados en el idioma español latinoamericano, facilitan una vez mas abordar esta herramienta.