Una perspectiva del Movimiento de los Cuerpos, en términos de solo la geometría de la trayectoria.

6.- Movimiento en términos de solo geometría

    La mecánica es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen (las fuerzas), no obstante, en esta entrada veremos el movimiento de los cuerpos bajo las perspectiva, de solo su geometría, esto es, la Cinemática. Mas tarde veremos el estudio del movimiento bajo la perspectiva de solo sus causas, dinámica del movimiento. Si nos vamos a la historia de los orígenes de la cinemática, podremos ubicarlo en físicos como Torricelli (1608-1647) con el estudio de la cicloide; continuando con el enunciada de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano de BERNOULLI (1700 - 1782). Estudiosos como D'ALAMBERT, EULER, KANT y CARNOT, entre algunos, abordaron el movimiento, sin considerar sus causas y fundaron al Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática, fue dado a conocer por  AMPERE (1775 - 1836), quien delimitó su contenido y aclaró su posición en el campo de la Mecánica.

    La cinemática, proviene del vocablo Griego Kinéin (movimiento), se ocupa de la geometría del movimiento, es decir la descripción de este con el soporte matemático de su geometría, mostrando el como se mueven los objetos o cuerpos físicos, sin prestar atención a  las razones por las cuales este ocurre de cierta forma. Un cuerpo físico puede moverse básicamente en dos formas diferentes: movimiento de traslación y movimiento de rotación, o como una composición de los dos  anteriores.

     Para facilitar y simplificar el estudio cinemático del movimiento, se toma el modelo de partícula en la representación de un cuerpo físico, ignorando su tamaño y forma y considerándolo como si fuera un cuerpos puntual; cabe aclarar que la palabra partícula no implica limite de tamaño, esto quiere decir, por ejemplo, que podemos considerar a los plantas del sistema solar como partículas que giran alrededor del sol.

   En el estudio de la cinemática dado a continuación, primeramente se comienza, para fines didácticos, con el estudio del movimiento en una recta (Movimiento Unidimensional); no obstante, sin dejar de lado, los marcos de referencia y los sistemas coordenados a emplear (en una, dos o tres dimensiones), y de seguida se incluyen conceptos y definiciones, tales como, vector posición y vector desplazamiento, rapidez media (etiquetas 7.-), velocidad media (7.2.-) e instantánea (7.3.-), aceleración media (7.4.-) e instantánea 87.5.-), sin olvidar las relaciones matemáticas entre estas magnitudes; mas tarde se estudiara el movimiento en dos y tres dimensiones.

6.1.- Marco o sistema de Referencia, Sistemas Coordenados y Movimiento Relativo.

    El movimiento de un cuerpo es un concepto relativo, puesto que distintos observadores pueden tener marcos  de referencia distintos, en otras palabras, no es posible afirmar que un cuerpo  está en estado de reposo o de movimiento, si no se considera un punto fijo o marco de referencia con respecto al cual podamos definir un estado u otro; simplemente el movimiento depende del sistema o marco de referencia. Dos observadores distintos podrían tener apreciaciones distintas de un mismo cuerpo, en cuanto a, si el cuerpo en estudio esta en reposo o en movimiento y ambas apreciaciones pueden ser verdaderas, dependiendo, por supuesto, del marco de referencia que tiene cada uno de ellos.

     Por ejemplo, veamos la situación que se describe en la figura siguiente, donde se observa a un tren en movimiento, y a dos amigos: Adriana y José. Adriana esta encima de la plataforma de uno de los vagones del tren (O'). A una orilla de la vía se encuentra de pie José (O), observando como pasa el tren.

 

    Una vez que el tren pasa y se detiene más adelante, los dos amigos comienzan a intercambiar sus observaciones.

Actividad: El estudiante lector debe responder por si mismo, las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son las afirmaciones que manifiesta Adriana con respecto a ella misma y al tren  en términos del movimiento?¿Que observa Adriana con respecto a José?, ¿Qué afirma José con respecto a él mismo y luego con respecto a Adriana?, ¿ Ambos tienen la razón, si o no, porqué? Explicar.

Sistemas Coordenados:

    En un mismo marco de referencia pueden emplearse diferentes sistemas de coordenadas, es decir, diferentes maneras de especificar la ubicación de los puntos del objeto en relación con el origen y con los ejes. El sistema que utilizaremos con más frecuencia para la descripción del movimiento es el sistema de coordenadas cartesianas en una, dos, o tres dimensiones. Los otros sistemas de coordenadas importantes son el cilíndrico, y el esférico. A continuación se muestra la figura de un sistema de coordenadas  cartesianas.

 6.2.-Vector de Posición:

    Desde un punto de vista matemático, la posición de un cuerpo en relación con un sistema de referencia se expresa mediante un vector, conocido como vector de posición (r_p ). Si el movimiento es unidimensional este vector posee una sola componente, por ejemplo (x); si el movimiento es bidimensional, se define con dos dimensiones, por ejemplo (x , y); y si la partícula se mueve en el espacio, este vector tendrá tres componentes o coordenadas (x, y, z). En la siguiente figura se muestra la representación gráfica del vector posición  en dos casos, esto es, (a) en el plano y (b) en el espacio. Vale resaltar que el vector posición va desde el origen del sistema de referencia al punto P de la trayectoria.



    De manera general, el vector posición en función del tiempo queda definido como:

r_p (t)= x(t) î + y(t) ĵ , en el plano cartesiano,  y 



r_p (t)= x(t) î + y(t) ĵ+z(t)k̂ , en el espacio (tridimensional).

6.3.- Ecuaciones paramétricas:

Las funciones x=x(t), y=y(t) y z=z(t) son descripciones independientes del movimiento a lo largo de cada una de las coordenadas cartesianas. Estas funciones dependen de una variable común, el tiempo t y se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento, siendo t, el parámetro.

6.4.- Trayectoria y Desplazamiento.

    Se denomina trayectoria al lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando el cuerpo o partícula móvil en el espacio. Si los puntos que va ocupando el móvil en sucesivos instantes quedan en una línea curva, la trayectoria se le denomina curvilínea. Si los puntos quedan en una línea recta, la trayectoria es rectilínea. Esta entrada del  blog se centra en el estudio de la cinemática  del movimiento rectilíneo, mas tarde se estudiará el movimiento curvilíneo, y parabólico. En la siguiente representación gráfica, se muestran las trayectorias mediante curvas de colores para tres cuerpos diferentes.



               El desplazamiento  Δr, es el vector que se define por el cambio de la posición de una partícula móvil que va desde el vector posición inicial X0 = XA  hasta el vector posición final  X_{f  =} X_B, y es independiente de la trayectoria descrita, es decir, los tres  cuerpos lila, verde y rojo, pueden moverse de la posición inicial A hasta la posición final B   por diferentes caminos y el desplazamiento Δr de estas partículas es el mismo para los tres (vector color naranja). El desplazamiento puede determinarse empleando las siguientes expresiones, en una dimensión, en dos dimensiones o en tres dimensiones respectivamente

Δr = Δ_x= (x_f – x₀) î

Δr = r_f - r₀ = (x_f – x₀) î + (y_f ­- y₀) ĵ
Δr = r_f - r₀ = (x_f – x₀) î + (y_f ­- y₀) ĵ + (Zf -Z₀) k

.

Observaciones: Las curvas de colores  en la gráfica de la figura dada arriba, son las trayectorias que describen cada una de las partículas y representan sus distancias o recorridos. Existen situaciones de movimientos en una dimensión, en que la distancia y el desplazamiento de una partícula coinciden en magnitud y en dirección.  Podemos también encontrar que ante una distancia recorrida, el desplazamiento resulta ser igual a cero, lo cual ocurre cuando la posición final y la posición inicial coinciden. simbólicamente queda, XA = X_B  
OTRA FORMA DE REPRESENTAR EL VECTOR DESPLAZAMIENTO: Para ello se emplea el plano cartesiano de los vectores de posición en función del  cambio en el tiempo (ver figura siguiente)

  Suponga una partícula móvil que describe una trayectoria representada en el plano XY, siendo su vector de posición r(t) en el instante de tiempo t, indicado como sigue, r(t) = x(t)i + y(t)j, cuyo extremo es el punto P, tal como lo indica la gráfica anterior. En un instante de tiempo Δt después, el vector de posición r(t + Δt ) que tiene su extremo en Q, toma la forma r(t+Δt )=x(t+Δt)i + y(t+Δt)j;  luego, llamemos vector desplazamiento Δr al vector dado por la diferencia                       Δr = r_pq = r(t+Δt) -r(t) en el intervalo de tiempo [t, t + Δt]. Es importante observar que el vector desplazamiento no coincide con el camino recorrido cuando la trayectoria no es una recta.

Ejemplo tipo:

  Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria cuyo vector de posición viene dado por la expresión:
                                                                r(t) = ti + 3t²j      (t en s;  x,y en m)
 Se requiere que encuentre la posición de la partícula en los siguientes instantes de tiempo, cuando t=2s, y cuando t=3s. De igual manera, encuentre el vector desplazamiento en el intervalo [2s, 3s].

Solución: Se encuentran separadamente las componentes cartesianas de los puntos extremos de los vectores de posición, ellos son p=r(2) y q = r(3), y por último se encuentra la diferencia de los mencionados vectores r(3) - r(s) para determinar el vector desplazamiento.
p=r(2)=2i + 3(2)²j = 2i + 12j = (2 , 12)
q=r(3)=3i+3(3)²j = 3i+27j= (3 , 27)
Δr_pq=r(3) - r(2) = (3i+27j)-(2i+12j) =i + 15j.
nota: Gráficamente este vector podría quedar tal como se muestra en la siguiente figura del plano cartesiano.

   

   

  

  

Vectores, Operaciones con vectores

5.- Vectores, Operaciones
Vectores, constituyen una herramienta básica, poderosa de la matemática, y de aplicación amplia en la Física y las Ciencias de la Ingeniería, que todo estudiante debe tener muy en cuenta, tanto a nivel medio como a nivel superior. En esta entrada del  blog se exponen su definición y sus operaciones y algunos ejemplos tipo.

5.1.- Vector: Antes de proceder a definir y operar con vectores te invito a que disfrutes el siguiente vídeo: https://youtu.be/u3U5R8KtwIc

    Vector es una cantidad que se caracteriza por poseer los siguientes elementos o componentes: Magnitud, dirección y sentido; para la física se consideran además, el punto de aplicación, el extremo y la línea de acción -en el caso de un vector deslizante-, por ejemplo, la línea de acción del vector fuerza (la fuerza es un vector deslizante). En término no estricto el vector es una flecha.

Magnitud:  Esta dada por la medida o módulo del vector constituido por un segmento de recta considerado  unidad; un ejemplo de ello se muestra en la siguiente figura.

                                 Magnitud del vector AB = 5 unidades de medida

 fig. 1

Dirección: Se manifiesta por un ángulo  con respecto a un eje coordenado o de referencia. En el caso de la figura siguiente, la dirección se indica con referencia en el eje horizontal,  ver a continuación figura adjunta. La dirección puede ser horizontal - ángulo nulo-, vertical -ángulo de 90° o 270°  e inclinada, respecto a.un eje de referencia, X o Y.

                                       

fig. 2

Sentido: Se indica con la punta o cabeza de la flecha. En la siguiente figura se muestran dos vectores de igual dirección pero de sentidos opuestos.

fig. 3 

Notación de Vectores: Un vector se puede notar de diferentes formas,  entre las cuales se tienen, las siguientes

a) Para el plano cartesiano:

• como un par ordenado de números reales, tal como sigue,  A = ( A_x , A_y)
• en términos de los vectores unitarios, tal como, A = A_xi + A_yj

 b) En tres dimensiones (en el espacio R³ )

• como una triada ordenada de números reales, A = (A_x, A_y, A_z)
• en términos de los vectores unitarios i, j, k;  A = A_x î  ₊ A_yĵ + A_zk̂ 
• en términos de los vectores unitarios x̂, ŷ, ẑ; A = A_xx̂ + A_yŷ + A_zẑ
• en términos de los vectores unitarios e_x,  e_y,  e_z ; A =  A_xe_{x +}  A_ye_{y +} A_ze_z



5.1.- Operaciones fundamentales :

     Estas operaciones son, adición, sustracción, producto escalar o producto punto, producto vectorial, y producto de un escalar por un vector. A continuación se exponen las operaciones mencionadas en términos muy generales para que el estudiante las aplique en situaciones particulares de algunos vectores conocidos.

5.1.1.- Adición :

     La adición de vectores se realiza de forma gráfica y de forma numérica. Estas formas de adicionar vectores, se muestran  respectivamente y a continuación.

Adición  en forma gráfica:

    La  adición gráfica de vectores tiene dos métodos, el método del polígono, y  el método del paralelogramo.

El método del polígono, consiste en colocar en el extremo del primer vector A, el origen del segundo B vector, y así sucesivamente (los vectores C, D, ...), el vector suma o resultante R se obtiene uniendo  el origen del primer vector dado con el extremo del último vector (ver gráficas siguientes)

Nótese que el vector suma o  vector resultante R, puede constituirse  como mínimo en un triángulo (polígono de tres lados), o cualquier otro polígono.

 fig. 4

El método del paralelogramo, es otro método útil para la adición geométrica de vectores. Emplea dos vectores cualesquiera A y B que tienen en común un mismo punto de aplicación. Este método consiste en colocar dos vectores cualesquiera A y B en un mismo punto de aplicación, por los extremos de estos vectores se trazan dos rectas paralelas, y por último se unen mediante una línea recta el origen y el punto de corte de ambas rectas paralelas, quedando como resultado el vector suma R que tiene extremo el punto de corte de las rectas paralelas. (Ver figura siguiente).

fig. 5

Descomposición de vectores y adición  de vectores, método analítico:

    El método geométrico de suma de vectores no es muy útil cuando tratamos con vectores en tres dimensiones; inclusive en el caso de dos dimensiones es inconveniente. Otra forma de adicionar vectores es el método analítico, que implica descomponer un vector en sus componentes cartesianas vectoriales y adicionar respectivamente esas componentes. En este proceso de descomposición se emplean las proyecciones rectangulares de los vectores sobre los ejes de coordenadas. En la figura siguiente se muestran dos ejemplos del caso bidimensional muy sencillo; fácilmente, a través de la descomposición descrita, se amplían nuestras conclusiones al caso de tres dimensiones.

fig. 6

    En  la figura mostrada arriba, se han descompuesto los vectores a y b en sus componentes vectoriales respectivas, siendo a_xî , a_yĵ las componentes vectoriales de a, así como b_x î, -b_y ĵ,  las componentes vectoriales de b. La palabra componente sola, sin el adjetivo vectorial, se emplea para indicar las cantidades escalares a_x,  a_y,  b_x  y  b_y. 

      Para concretar la adición de vectores por el método analítico tomemos al vector

                                             r = a + b   (1)

como el vector suma de a y b ambos en el plano  xy, de donde

                                                         r_x = a_{x  +}  a_y 

 _y    

                                                                r_y =  b_x   -   b_y

que son las componentes escalares respectivas del vector suma y conjuntamente, son equivalentes a la relación vectorial única representada en (1), esto es, el vector suma r también se puede escribir como

                                                       r = r_x   +  r_y

de donde podemos encontrar el modulo r = |r| y al ángulo θ formado por r con el eje de las x; esto es,

 y

Para concluir, tenemos la regla para sumar vectores analíticamente tal como sigue; se descompone cada vector en sus componentes cartesianas;  la suma algebraica de las componentes individuales a lo largo de un eje determinado es la componente de la suma vectorial a lo largo de ese eje; la suma vectorial se puede reconstruir una vez que se conocen sus componentes. Este método de sumar vectores se puede generalizar a muchos vectores y a tres dimensiones.

Adición en forma numérica

Dados los vectores,

A = a_x î  ₊ a_yĵ + a_zk̂    y
B =  b_xî + b_yĵ + b_zk̂

la adición se define como

A + B = (a_x î  ₊  a_y ĵ + a_zk̂  ) + (b_xî + b_yĵ + b_zk̂ )

de donde, el vector suma resultante, es

A + B = (a_x + b_x)î  +  (a_{y +} b_y)ĵ  +  ( b_{z +} b_z)k̂

5.1.2.- Sustracción:

Es el proceso mediante el cual, al vector A se le adiciona el opuesto del vector B, esto es, A - B = A + (-B), de ello se obtiene que

A - B = (b_x î  ₊ b_y ĵ + b_zk̂  ) - (b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ )

de aquí que

A - B = (a_x - b_x )î + (a_{y -} b_y)ĵ  + (a_z - b_z )k̂

Ejemplo tipo 1: (Adición y sustracción de dos vectores)

    Dados los vectores que se muestran en la siguiente figura, donde se conocen su módulo, dirección y el sentido dado por a punta de flecha:

 fig. 7





determinar: 1) A + B, su magnitud y su dirección;  2) A - B, su magnitud y dirección.

Solución (1): Para ello es necesario acudir a la representación gráfica, dada arriba, de ambos vectores, con el fin de extraer la información de cada uno de estos. De donde los podemos definir, tal como sigue:

A = a_xî + a_yĵ = 3cos60î + 3sen60ĵ = 1,50î + 2,60ĵ

B = b_xî + b_yĵ = -2sen30î + 2cos30ĵ = -1,00î + 1,73ĵ

luego:

A + B = (1,50î+ 2,60ĵ ) + (-1,00î + 1,73ĵ)

sumando términos semejantes en relación con los versores î y ĵ , se desprende que:

A + B = (1,50 - 1,00)î + (2,60 + 1,73 )ĵ = 0,50î + 4,33ĵ

que es el vector suma R, requerido

R = 0,50î + 4,33ĵ 

La representación gráfica del vector suma R= A + B, le corresponde al lector.



El cálculo de la magnitud de R es:

|R|= √(0,50²+ 4,33² = 4,36

 y el cálculo de su dirección esta dada por:

tgθ = 4,33/0,5 = 8,66 ⇒ θ = 83,4°
  

Solución (2): En este caso, se procede con la definición de sustracción dada en la siguiente relación A-B = A+(- B), la cual indica que la sustracción es igual a la adición del vector A con el vector simétrico u opuesto de B, esto es, el vector -B. Como ya se tienen a ambos vectores en términos de sus componentes cartesianas, se procede como sigue:

A - B = (1,50î + 2,60ĵ ) - (-1,00î + 1,73ĵ )

de donde:

A - B = (1,50 - (-1,00))î + (2,60 - (1,73))ĵ = 2,50î + 0,87ĵ

para concluir:

A - B = 2,50î + 0,87ĵ

La representación gráfica de A - B,  le corresponde al lector.



 El cálculo de la magnitud del vector resto, esta dado como sigue:

|A-B| = √(2,50² + 0,87²) = 2,65

y la dirección, se determina como:

tg θ = 0,87/2,50 = 0,348 ⇒ θ = 19,2°

Ejemplo tipo 2: (Adición y sustracción de tres o mas vectores dados):

    Para ser prácticos, se recomienda efectuar estas operaciones a través de un proceso de graficación y tabulación que facilita el ordenamiento y el cálculo de las componentes de cada uno de los vectores dados, así como, la disposición de sus datos. Veamos el desarrollo del siguiente ejemplo.

    Un grupo de excursionistas parte de un pueblo A y ejecutan tres desplazamientos antes de establecer su campamento en B. Inicialmente recorren 5km en dirección Sur-Oeste, luego 10km en dirección Este y finalmente recorren 4km en dirección Sur. Se requiere saber la longitud del desplazamiento resultante y la dirección que tomaron los excursionistas desde su punto de partida hasta el punto donde se establece el campamento.

Solución: El punto de partida (el pueblo A), se ubica en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, luego, de forma consecutiva, se ubican los vectores desplazamiento con sus magnitudes y direcciones formando un polígono. A continuación y de esta misma forma, se tabulan los datos de cada uno de estos vectores así como de los cálculos previos de las componentes vectoriales respectivas. Ver figuras siguientes (fig. 10) y (Tabla 1)



fig. 10



    A continuación se tabulan (ver tabla 1),  cada vector desplazamiento con sus datos respectivos:

   
    Con los datos ya ordenados y establecidos en la tabla 1, se pueden determinar, además del vector en términos de los versores î y ĵ, también su módulo, y su dirección, tal como siguen:

El vector es

D_R = 6,46î - 7,54ĵ

su módulo es:

|D_R |= √(6,46² + (- 7,54)²) = 9,93

el cálculo de su dirección es: 

tg θ = (- 7,54/6,46) ⇒θ = arctg (- 7,54/6,46) ⇒θ = -49,4



cuya dirección resultante es:

θ_R  = 360 - 49,4 = 310,6°

5.1.3.- Producto escalar:

    Con base en los vectores dados anteriormente, A y B, el producto escalar  se define como:

A.B = (a_x î  ₊ a_y ĵ + a_zk̂ ).(b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ )

de donde, se obtiene:

A.B = a_x b_{x +} a_y b_{y +} a_zb<sub>z

    Otra forma de  obtener el producto escalar, siempre y cuando se conozcan los módulos de los vectores A, y de B, así como el ángulo comprendido entre ellos, esta dada por la expresión:</sub>

A.B = |A|.|B|.cosθ  (*)

    Cabe destacar que el producto escalar entre dos vectores paralelos es igual a la unidad (lo mismo se verifica con el producto escalar de un versor por si mismo). Esto se puede corroborar también aplicando la ecuación dada arriba (*) :

î.î = 1;        ĵ. ĵ = 1;       k̂.k̂ = 1

    Dos vectores  son ortogonales o perpendiculares, si su producto escalar es igual a cero, Al igual que en el caso anterior, también se puede corroborar la aseveración dada aquí, aplicando la ecuación (*):

î.ĵ = 0 ;          ĵ.k̂ = 0;       k̂.î = 0

Ejemplo tipo 1:
Dados los vectores C = -4î + 6 ĵ - 2k̂;   D = mî - 9ĵ + 3k̂
Calcular el valor de m para que C y D sean perpendiculares entre si.
Solución: El estudiante debe corroborar que m = -15, aplicando la definición del producto vectorial para los vectores dados.

Asignación:
Dados los vectores: P = (5, -3, -1) y Q = 3î + 4 ĵ  - 2k̂. El estudiante debe resolver:
a) |P|; b) |Q|; c) P.Q  y d) el ángulo subtendido entre P y Q

5.1.4.- Producto vectorial:

    Dados dos vectores cualesquiera A y B, se define el producto vectorial de A por B y se denota por AXB, como otro vector C que tiene las siguientes características:

1.- El Módulo es igual al producto de los módulos de  A  y B, multiplicado por el seno del ángulo Φ, comprendido o subtendido entre ellos; de aquí que:
                            |C|=|AxB|= |A|.|B|. sen Φ

2.- La dirección de cada uno de los producto AxB y BxA esta dada por el ángulo perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B. La dirección del producto cruz también es aquella en la que avanza un tornillo con rosca derecha si se gira de A hacia B en AxB,  o el avance si se gira el tornillo de B hacia A (ver figuras siguientes, a y b).

3.- El sentido de cada producto AxB y BxA, se obtiene  mediante la regla del pulgar de la mano derecha;   lo da el pulgar extendido hacia arriba, si se trata del producto AxB, o el  pulgar extendido hacia abajo, si es el producto BXA. Obsérvese las figura 11 (a y b), siguientes.

fig. 11

Nótese en las  figuras, que AxB  y BxA, aun cuando teniendo igual dirección y magnitud, tienen sentidos opuestos. De aquí se establece que el producto vectorial no es conmutativo, esto es, AxB ≠ BxA, y se puede comprobar que  AxB = -BxA .

    Veamos los siguientes casos de multiplicación de los vectores unitarios  î , ĵ, y k̂. 

 1) El producto vectorial de un vector unitario (o versor) por si mismo es el vector nulo 0, de donde,

                                                             î x î = ĵ x ĵ = k̂ x k̂  = 0

Observación: Cabe recordar que el producto cruz, tiene por resultado un vector, por lo tanto, el resultado de los productos de cada vector unitario consigo mismo  es el vector nulo 0.

2) Mediante el uso de la regla de la mano derecha, aplicada a la figura siguiente,  

fig. 12

se obtienen los siguientes productos vectoriales:

 î x  ĵ  = k̂;                    ĵ x k̂ =  î ;                     k̂x î =  ĵ 

El producto cruz  en forma de determinante:

Dados los vectores

A = a_x î  ₊ a_yĵ + a_zk̂   y

B =   b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ 

Se puede determinar AxB como

AxB = ( a_x C  ₊ a_yĵ + a_zk̂ )x( b_xî + b_y ĵ + b_zk̂  )

 

y aplicando la propiedad distributiva con el empleo de los productos vectoriales de los vectores unitarios, se llega a la expresión:

AxB = (a_yb_{z -} a_zb_y)î + (a_zb_{x -} a_xb_z  )ĵ + (a_xb_{y -} b_yb_y )k̂

que además puede escribirse en forma de determinante, donde la primera fila contiene los vectores unitarios, la segunda y tercera fila, son las componentes respectivas de los vectores dados A y B,  tal como sigue

Asignación: Dados los vectores A = 2î - ĵ + 3k̂  y  B = - 3î + 2 ĵ - k̂
Calcular: AxB  y  BxA

5.1.5.- Producto de un escalar por un vector:

    Dados un escalar (un número real) _ϐ, y un vector V= v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ , se define producto de un escalar por un vector a la operación que se denota por _ϐV y se determina como
                  _ϐV = _ϐ(v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ ) = _ϐv_xî + _ϐv_yĵ _{+ ϐ}v_zk̂
y tiene por resultado otro vector que modifica la magnitud del vector dado, haciéndolo más grande o más pequeño, esto es,
a) Si el escalar _{ϐ > 1, el vector dado se hace más grande} en magnitud
b) y si el escalar _{ϐ< 1, el vector se hace más pequeño.}