Vectores, Operaciones con vectores

5.- Vectores, Operaciones
Vectores, constituyen una herramienta básica, poderosa de la matemática, y de aplicación amplia en la Física y las Ciencias de la Ingeniería, que todo estudiante debe tener muy en cuenta, tanto a nivel medio como a nivel superior. En esta entrada del  blog se exponen su definición y sus operaciones y algunos ejemplos tipo.

5.1.- Vector: Antes de proceder a definir y operar con vectores te invito a que disfrutes el siguiente vídeo: https://youtu.be/u3U5R8KtwIc

    Vector es una cantidad que se caracteriza por poseer los siguientes elementos o componentes: Magnitud, dirección y sentido; para la física se consideran además, el punto de aplicación, el extremo y la línea de acción -en el caso de un vector deslizante-, por ejemplo, la línea de acción del vector fuerza (la fuerza es un vector deslizante). En término no estricto el vector es una flecha.

Magnitud:  Esta dada por la medida o módulo del vector constituido por un segmento de recta considerado  unidad; un ejemplo de ello se muestra en la siguiente figura.

                                 Magnitud del vector AB = 5 unidades de medida

 fig. 1

Dirección: Se manifiesta por un ángulo  con respecto a un eje coordenado o de referencia. En el caso de la figura siguiente, la dirección se indica con referencia en el eje horizontal,  ver a continuación figura adjunta. La dirección puede ser horizontal - ángulo nulo-, vertical -ángulo de 90° o 270°  e inclinada, respecto a.un eje de referencia, X o Y.

                                       

fig. 2

Sentido: Se indica con la punta o cabeza de la flecha. En la siguiente figura se muestran dos vectores de igual dirección pero de sentidos opuestos.

fig. 3 

Notación de Vectores: Un vector se puede notar de diferentes formas,  entre las cuales se tienen, las siguientes

a) Para el plano cartesiano:

• como un par ordenado de números reales, tal como sigue,  A = ( A_x , A_y)
• en términos de los vectores unitarios, tal como, A = A_xi + A_yj

 b) En tres dimensiones (en el espacio R³ )

• como una triada ordenada de números reales, A = (A_x, A_y, A_z)
• en términos de los vectores unitarios i, j, k;  A = A_x î  ₊ A_yĵ + A_zk̂ 
• en términos de los vectores unitarios x̂, ŷ, ẑ; A = A_xx̂ + A_yŷ + A_zẑ
• en términos de los vectores unitarios e_x,  e_y,  e_z ; A =  A_xe_{x +}  A_ye_{y +} A_ze_z



5.1.- Operaciones fundamentales :

     Estas operaciones son, adición, sustracción, producto escalar o producto punto, producto vectorial, y producto de un escalar por un vector. A continuación se exponen las operaciones mencionadas en términos muy generales para que el estudiante las aplique en situaciones particulares de algunos vectores conocidos.

5.1.1.- Adición :

     La adición de vectores se realiza de forma gráfica y de forma numérica. Estas formas de adicionar vectores, se muestran  respectivamente y a continuación.

Adición  en forma gráfica:

    La  adición gráfica de vectores tiene dos métodos, el método del polígono, y  el método del paralelogramo.

El método del polígono, consiste en colocar en el extremo del primer vector A, el origen del segundo B vector, y así sucesivamente (los vectores C, D, ...), el vector suma o resultante R se obtiene uniendo  el origen del primer vector dado con el extremo del último vector (ver gráficas siguientes)

Nótese que el vector suma o  vector resultante R, puede constituirse  como mínimo en un triángulo (polígono de tres lados), o cualquier otro polígono.

 fig. 4

El método del paralelogramo, es otro método útil para la adición geométrica de vectores. Emplea dos vectores cualesquiera A y B que tienen en común un mismo punto de aplicación. Este método consiste en colocar dos vectores cualesquiera A y B en un mismo punto de aplicación, por los extremos de estos vectores se trazan dos rectas paralelas, y por último se unen mediante una línea recta el origen y el punto de corte de ambas rectas paralelas, quedando como resultado el vector suma R que tiene extremo el punto de corte de las rectas paralelas. (Ver figura siguiente).

fig. 5

Descomposición de vectores y adición  de vectores, método analítico:

    El método geométrico de suma de vectores no es muy útil cuando tratamos con vectores en tres dimensiones; inclusive en el caso de dos dimensiones es inconveniente. Otra forma de adicionar vectores es el método analítico, que implica descomponer un vector en sus componentes cartesianas vectoriales y adicionar respectivamente esas componentes. En este proceso de descomposición se emplean las proyecciones rectangulares de los vectores sobre los ejes de coordenadas. En la figura siguiente se muestran dos ejemplos del caso bidimensional muy sencillo; fácilmente, a través de la descomposición descrita, se amplían nuestras conclusiones al caso de tres dimensiones.

fig. 6

    En  la figura mostrada arriba, se han descompuesto los vectores a y b en sus componentes vectoriales respectivas, siendo a_xî , a_yĵ las componentes vectoriales de a, así como b_x î, -b_y ĵ,  las componentes vectoriales de b. La palabra componente sola, sin el adjetivo vectorial, se emplea para indicar las cantidades escalares a_x,  a_y,  b_x  y  b_y. 

      Para concretar la adición de vectores por el método analítico tomemos al vector

                                             r = a + b   (1)

como el vector suma de a y b ambos en el plano  xy, de donde

                                                         r_x = a_{x  +}  a_y 

 _y    

                                                                r_y =  b_x   -   b_y

que son las componentes escalares respectivas del vector suma y conjuntamente, son equivalentes a la relación vectorial única representada en (1), esto es, el vector suma r también se puede escribir como

                                                       r = r_x   +  r_y

de donde podemos encontrar el modulo r = |r| y al ángulo θ formado por r con el eje de las x; esto es,

 y

Para concluir, tenemos la regla para sumar vectores analíticamente tal como sigue; se descompone cada vector en sus componentes cartesianas;  la suma algebraica de las componentes individuales a lo largo de un eje determinado es la componente de la suma vectorial a lo largo de ese eje; la suma vectorial se puede reconstruir una vez que se conocen sus componentes. Este método de sumar vectores se puede generalizar a muchos vectores y a tres dimensiones.

Adición en forma numérica

Dados los vectores,

A = a_x î  ₊ a_yĵ + a_zk̂    y
B =  b_xî + b_yĵ + b_zk̂

la adición se define como

A + B = (a_x î  ₊  a_y ĵ + a_zk̂  ) + (b_xî + b_yĵ + b_zk̂ )

de donde, el vector suma resultante, es

A + B = (a_x + b_x)î  +  (a_{y +} b_y)ĵ  +  ( b_{z +} b_z)k̂

5.1.2.- Sustracción:

Es el proceso mediante el cual, al vector A se le adiciona el opuesto del vector B, esto es, A - B = A + (-B), de ello se obtiene que

A - B = (b_x î  ₊ b_y ĵ + b_zk̂  ) - (b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ )

de aquí que

A - B = (a_x - b_x )î + (a_{y -} b_y)ĵ  + (a_z - b_z )k̂

Ejemplo tipo 1: (Adición y sustracción de dos vectores)

    Dados los vectores que se muestran en la siguiente figura, donde se conocen su módulo, dirección y el sentido dado por a punta de flecha:

 fig. 7





determinar: 1) A + B, su magnitud y su dirección;  2) A - B, su magnitud y dirección.

Solución (1): Para ello es necesario acudir a la representación gráfica, dada arriba, de ambos vectores, con el fin de extraer la información de cada uno de estos. De donde los podemos definir, tal como sigue:

A = a_xî + a_yĵ = 3cos60î + 3sen60ĵ = 1,50î + 2,60ĵ

B = b_xî + b_yĵ = -2sen30î + 2cos30ĵ = -1,00î + 1,73ĵ

luego:

A + B = (1,50î+ 2,60ĵ ) + (-1,00î + 1,73ĵ)

sumando términos semejantes en relación con los versores î y ĵ , se desprende que:

A + B = (1,50 - 1,00)î + (2,60 + 1,73 )ĵ = 0,50î + 4,33ĵ

que es el vector suma R, requerido

R = 0,50î + 4,33ĵ 

La representación gráfica del vector suma R= A + B, le corresponde al lector.



El cálculo de la magnitud de R es:

|R|= √(0,50²+ 4,33² = 4,36

 y el cálculo de su dirección esta dada por:

tgθ = 4,33/0,5 = 8,66 ⇒ θ = 83,4°
  

Solución (2): En este caso, se procede con la definición de sustracción dada en la siguiente relación A-B = A+(- B), la cual indica que la sustracción es igual a la adición del vector A con el vector simétrico u opuesto de B, esto es, el vector -B. Como ya se tienen a ambos vectores en términos de sus componentes cartesianas, se procede como sigue:

A - B = (1,50î + 2,60ĵ ) - (-1,00î + 1,73ĵ )

de donde:

A - B = (1,50 - (-1,00))î + (2,60 - (1,73))ĵ = 2,50î + 0,87ĵ

para concluir:

A - B = 2,50î + 0,87ĵ

La representación gráfica de A - B,  le corresponde al lector.



 El cálculo de la magnitud del vector resto, esta dado como sigue:

|A-B| = √(2,50² + 0,87²) = 2,65

y la dirección, se determina como:

tg θ = 0,87/2,50 = 0,348 ⇒ θ = 19,2°

Ejemplo tipo 2: (Adición y sustracción de tres o mas vectores dados):

    Para ser prácticos, se recomienda efectuar estas operaciones a través de un proceso de graficación y tabulación que facilita el ordenamiento y el cálculo de las componentes de cada uno de los vectores dados, así como, la disposición de sus datos. Veamos el desarrollo del siguiente ejemplo.

    Un grupo de excursionistas parte de un pueblo A y ejecutan tres desplazamientos antes de establecer su campamento en B. Inicialmente recorren 5km en dirección Sur-Oeste, luego 10km en dirección Este y finalmente recorren 4km en dirección Sur. Se requiere saber la longitud del desplazamiento resultante y la dirección que tomaron los excursionistas desde su punto de partida hasta el punto donde se establece el campamento.

Solución: El punto de partida (el pueblo A), se ubica en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, luego, de forma consecutiva, se ubican los vectores desplazamiento con sus magnitudes y direcciones formando un polígono. A continuación y de esta misma forma, se tabulan los datos de cada uno de estos vectores así como de los cálculos previos de las componentes vectoriales respectivas. Ver figuras siguientes (fig. 10) y (Tabla 1)



fig. 10



    A continuación se tabulan (ver tabla 1),  cada vector desplazamiento con sus datos respectivos:

   
    Con los datos ya ordenados y establecidos en la tabla 1, se pueden determinar, además del vector en términos de los versores î y ĵ, también su módulo, y su dirección, tal como siguen:

El vector es

D_R = 6,46î - 7,54ĵ

su módulo es:

|D_R |= √(6,46² + (- 7,54)²) = 9,93

el cálculo de su dirección es: 

tg θ = (- 7,54/6,46) ⇒θ = arctg (- 7,54/6,46) ⇒θ = -49,4



cuya dirección resultante es:

θ_R  = 360 - 49,4 = 310,6°

5.1.3.- Producto escalar:

    Con base en los vectores dados anteriormente, A y B, el producto escalar  se define como:

A.B = (a_x î  ₊ a_y ĵ + a_zk̂ ).(b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ )

de donde, se obtiene:

A.B = a_x b_{x +} a_y b_{y +} a_zb<sub>z

    Otra forma de  obtener el producto escalar, siempre y cuando se conozcan los módulos de los vectores A, y de B, así como el ángulo comprendido entre ellos, esta dada por la expresión:</sub>

A.B = |A|.|B|.cosθ  (*)

    Cabe destacar que el producto escalar entre dos vectores paralelos es igual a la unidad (lo mismo se verifica con el producto escalar de un versor por si mismo). Esto se puede corroborar también aplicando la ecuación dada arriba (*) :

î.î = 1;        ĵ. ĵ = 1;       k̂.k̂ = 1

    Dos vectores  son ortogonales o perpendiculares, si su producto escalar es igual a cero, Al igual que en el caso anterior, también se puede corroborar la aseveración dada aquí, aplicando la ecuación (*):

î.ĵ = 0 ;          ĵ.k̂ = 0;       k̂.î = 0

Ejemplo tipo 1:
Dados los vectores C = -4î + 6 ĵ - 2k̂;   D = mî - 9ĵ + 3k̂
Calcular el valor de m para que C y D sean perpendiculares entre si.
Solución: El estudiante debe corroborar que m = -15, aplicando la definición del producto vectorial para los vectores dados.

Asignación:
Dados los vectores: P = (5, -3, -1) y Q = 3î + 4 ĵ  - 2k̂. El estudiante debe resolver:
a) |P|; b) |Q|; c) P.Q  y d) el ángulo subtendido entre P y Q

5.1.4.- Producto vectorial:

    Dados dos vectores cualesquiera A y B, se define el producto vectorial de A por B y se denota por AXB, como otro vector C que tiene las siguientes características:

1.- El Módulo es igual al producto de los módulos de  A  y B, multiplicado por el seno del ángulo Φ, comprendido o subtendido entre ellos; de aquí que:
                            |C|=|AxB|= |A|.|B|. sen Φ

2.- La dirección de cada uno de los producto AxB y BxA esta dada por el ángulo perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B. La dirección del producto cruz también es aquella en la que avanza un tornillo con rosca derecha si se gira de A hacia B en AxB,  o el avance si se gira el tornillo de B hacia A (ver figuras siguientes, a y b).

3.- El sentido de cada producto AxB y BxA, se obtiene  mediante la regla del pulgar de la mano derecha;   lo da el pulgar extendido hacia arriba, si se trata del producto AxB, o el  pulgar extendido hacia abajo, si es el producto BXA. Obsérvese las figura 11 (a y b), siguientes.

fig. 11

Nótese en las  figuras, que AxB  y BxA, aun cuando teniendo igual dirección y magnitud, tienen sentidos opuestos. De aquí se establece que el producto vectorial no es conmutativo, esto es, AxB ≠ BxA, y se puede comprobar que  AxB = -BxA .

    Veamos los siguientes casos de multiplicación de los vectores unitarios  î , ĵ, y k̂. 

 1) El producto vectorial de un vector unitario (o versor) por si mismo es el vector nulo 0, de donde,

                                                             î x î = ĵ x ĵ = k̂ x k̂  = 0

Observación: Cabe recordar que el producto cruz, tiene por resultado un vector, por lo tanto, el resultado de los productos de cada vector unitario consigo mismo  es el vector nulo 0.

2) Mediante el uso de la regla de la mano derecha, aplicada a la figura siguiente,  

fig. 12

se obtienen los siguientes productos vectoriales:

 î x  ĵ  = k̂;                    ĵ x k̂ =  î ;                     k̂x î =  ĵ 

El producto cruz  en forma de determinante:

Dados los vectores

A = a_x î  ₊ a_yĵ + a_zk̂   y

B =   b_xî + b_y ĵ + b_zk̂ 

Se puede determinar AxB como

AxB = ( a_x C  ₊ a_yĵ + a_zk̂ )x( b_xî + b_y ĵ + b_zk̂  )

 

y aplicando la propiedad distributiva con el empleo de los productos vectoriales de los vectores unitarios, se llega a la expresión:

AxB = (a_yb_{z -} a_zb_y)î + (a_zb_{x -} a_xb_z  )ĵ + (a_xb_{y -} b_yb_y )k̂

que además puede escribirse en forma de determinante, donde la primera fila contiene los vectores unitarios, la segunda y tercera fila, son las componentes respectivas de los vectores dados A y B,  tal como sigue

Asignación: Dados los vectores A = 2î - ĵ + 3k̂  y  B = - 3î + 2 ĵ - k̂
Calcular: AxB  y  BxA

5.1.5.- Producto de un escalar por un vector:

    Dados un escalar (un número real) _ϐ, y un vector V= v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ , se define producto de un escalar por un vector a la operación que se denota por _ϐV y se determina como
                  _ϐV = _ϐ(v_xî + v_y ĵ + v_zk̂ ) = _ϐv_xî + _ϐv_yĵ _{+ ϐ}v_zk̂
y tiene por resultado otro vector que modifica la magnitud del vector dado, haciéndolo más grande o más pequeño, esto es,
a) Si el escalar _{ϐ > 1, el vector dado se hace más grande} en magnitud
b) y si el escalar _{ϐ< 1, el vector se hace más pequeño.}