3.-Operaciones aritméticas con potencias en base 10
Muchas de las operaciones requeridas dentro de la física son desarrolladas esencialmente mediante cantidades expresadas en notación científica; caben señalar entre ellas, las cuatro operaciones básicas; adición, sustracción, multiplicación, y división, además de la operación, potencia de una potencia. Para ello es recomendable que los resultados sean de las operaciones mencionadas sean culminados en notación científica cuyo coeficiente sea finiquitado mediante las cifras significativas y el redondeo.
3.1.- Adición y Sustracción
En estas operaciones se presentan dos casos especialmente diferenciados; el primero, cuando las potencias de base 10 tengan exponentes iguales; el segundo, cuando las potencias de base 10 tengan exponentes enteros diferentes.
Adición y Sustracción cuando las potencias de base 10 tengan exponentes iguales.
Se procede de la siguiente manera: cada uno de los coeficientes decimales de los términos de cada potencia de base 10 , se asocian en un paréntesis, quedando como factor común de éstos, la potencia dada. Se resuelven las operaciones de adición y/o de sustracción de los coeficientes asociados y por último el resultado se escribe en notación científica. Para comprender este procedimiento, veamos el siguiente ejemplo tipo
Ejemplo tipo 1: (potencias de base 10 con exponentes iguales).
Efectuar: 5x10^4 + 3,5x10^4 - 0,5
Solución: Se asocian dentro de un paréntesis los coeficientes y 10^4 queda como factor común, así
= (5 + 3,5 - 0,5)x10^4
y operando mediante cifras significativas, se obtiene:
= 8x10^4
Adición y Sustracción cuando las potencias de base 10 tengan exponentes diferentes.
Ejemplo tipo 2: (potencias de base 10 con exponentes diferentes).
Efectuar: 6x10^5 + 7,6x10^3
Solución: No se puede sumar directamente como en el ejemplo 1. Antes de hacerlo, se deben convertir las cantidades dadas a notación científica de manera que las potencias tengan el mismo exponente:
Una forma de hacerlo es la siguiente:
6x10^5=(6x10^2)(10^5x10^-2) = 600x10^3
adicionando: 600x10^3 + 7,6x10^3 = 607,6x10^3
y escribiendo en notación científica queda: 6,07x10^5
Actividad:
Resuelva los siguientes ejercicios:
a.- 7x10^3 + 5x10^4
b.- 3x10^-2 + 4x10^-1 - 5x10^-3
Para recrear la adición y sustracción con potencias de base 10, se le sugiere ver el siguiente video.
3.2.- Multiplicación y División.
Si se desea tener una mejor comprensión en las operaciones, recodemos que: potencias de igual base que se multiplican tienen como resultado otra potencia de la misma base cuyo exponente resultante es la suma de los exponentes de las potencias producto, esto es, (10^m)x(10^n) = 10^(m + n). Y potencias de igual base que se dividen tienen por resultado otra potencia donde al exponente resultante se obtiene de restarle al exponente del dividendo el exponente del divisor, esto es, (10^m):(10^n) = 10^(m - n).
Ejemplo tipo 1:
Efectuar (5x10^4)x(3x10^3)
Solución:
Separando el producto de los coeficientes y el producto de las potencias, se tiene que
= (5x3)x(10^4x10^3)
realizando estos productos, se obtiene
= 15x10^7
escribiendo en notación científica, el resultado es
= 1,5x10^8
aplicando cifras significativas y redondeando, el resultado queda
= 2x10^8
Ejemplo tipo 2:
Efectuar (25x10^7)(5x10^4)
Solución:
Separando la división de los coeficiente y la división de las potencias con un producto, queda
= (25:5)x(10^7:10^4)
realizando estas operaciones por separado, queda ya en notación científica
= 5x10^3
Para recrear una vez mas los procesos de multiplicación y división, se recomienda observar el siguiente video, cuantas veces considere necesario
Actividad:
Resuelva los siguientes ejercicios:
a.- (6x10^3)(4x10^-2)(5x10^5)
b.- (3x10^-4)(2x10^-5)
c.- Divida el resultado obtenido en (a) entre el resultado obtenido en (b)
3.3.- Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia, se coloca la misma base y se multiplican los exponentes entre si. Veamos los siguientes ejemplos tipo:
Ejemplo tipo 1:
Efectuar ((4x10^-2)x(3x10^6))^2
Solución: Por un lado se elevan a la potencia indicada cada uno de los coeficientes, y por otro lado, también se elevan las potencias de base 10, tal como sigue:
= (4^2x3^2)((10^-2)^2x(10^6)^2)
de donde queda
= (16x9)x(10^-4)x(10^12)
desarrollando los productos, se obtiene
= 144x10^8
escribiendo en notación científica, se obtiene
= 1,44x10^10
y como el menor número de cifras significativas del producto en los coeficientes dados es uno, entonces resulta
= 1x10^10
Actividad:
Efectuar y escribir la respuesta en notación científica de
a.- (5x10^3)^2
b.- (3x10^-3)^3
c.- ((5x10^2)x(3x10^-1))^3
