Análisis Dimensional

    2.- Análisis Dimensional (A.D.)

     Se trata de una herramienta muy poderosa con la cual cuenta el estudioso de las ciencias físicas y/o de  la ingeniería para la resolución de problemas, y verificación de situaciones, en las cuales lo que se busca es mantener la consistencia entre las dimensiones, de una ecuación. En el AD se presta especial atención a las dimensiones que participan en el estudio de un fenómeno físico. El Análisis Dimensional permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno físico en el cual están involucradas diversas magnitudes físicas;  las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. El análisis dimensional, en síntesis, (Figueroa, 2000, p.4)

 "...constituye una herramienta útil para: detectar errores en el resultado de un problema, deducir relaciones entre magnitudes físicas y revelar las leyes de escalamiento."

    En este sentido, la inconsistencia entre las dimensiones de una expresión física dada es un indicador que advierte la presencia de un error en la resolución de un problema, lo cual conduce a revisar exhaustivamente las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales como la longitud (L), la masa (M ) y el tiempo (T). En consecuencia Figueroa (2000), define dimensión de una magnitud a la combinación de magnitudes fundamentales que se emplean para caracterizar una magnitud física dada.
     La dimensión de una magnitud física A cualquiera, se representa dentro de un par de corchetes que contiene a la magnitud física, tal como sigue, [A], y se lee, "dimensión de la magnitud física A"; por ejemplo, [área]=L² se lee magnitud física del área.
   Véase la siguiente tabla de unidades fundamentales del sistema internacional de unidades:

Magnitud Física	Unidad	Símbolo
Longitud	metro	m
Tiempo	segundo	s
Masa	kilogramo	kg
Intensidad de corriente eléctrica	amperio	A
Temperatura	kelvin	K
Cantidad de sustancia	mol	mol
Intensidad luminosa	candela	cd

 

2.1- Formula Dimensional:

    Se le llama formula dimensional a aquella relación de  igualdad que se establece entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales; relación bajo la cual se inicia el proceso de análisis dimensional. A continuación se muestra una lista de formulas dimensionales básicas que el estudioso del análisis dimensional debe tener presente, y recordar.

2.1.1.- Formulas Dimensionales Básicas

    Las primeras siete formulas dimensionales corresponden a las magnitudes fundamentales en el S.I. , la siguiente corresponde a un número y las restantes, corresponden a  magnitudes derivadas de manejo frecuente.

1. [Longitud] = L

2. [Masa] = M

3. [Tiempo] = T

4. [Temperatura]= θ

5. [Intensidad eléctrica] = I

6. [Intensidad luminosa] = J

7. [cantidad de sustancia] = N

Es bien importante aceptar bajo convenio que un número o cantidad es adimensional, por lo cual, se debe considerar siempre que la dimensión de un número es la unidad, tal como sigue en la formula 8.

8. [número] = 1

9. [área] = [longitud][longitud]= L.L = L²

10. [Volumen] = L³

11. [Densidad] = M.L^-3

12.  [Velocidad] = LT^-1

13. [Aceleración] = LT^-2

14.   [Fuerza] = MLT^-2

15.   [Trabajo] = ML²T^_2

16.  [Energía] = ML²T^_2

17.  [Potencia] = ML²T^-3

18.  [Presión] = ML^-1T^-2

19.  [Período] = T

20.  [Frecuencia] = T^-1

21.  [Velocidad angular] = T^-1

22.   [Ángulo] = 1

23.   [Caudal] = L³T^-1

24.  [Aceleración angular] = T^-2

25.  [Carga eléctrica] = IT

26.   [Iluminación] = JL^-2

 

2.2.- Principio de Homogeneidad Dimensional

 

     En una formula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales. Este principio es esencial para el análisis dimensional, y se cumple para ambos lados o miembros de una ecuación y en todos sus términos.

Ejemplo tipo I: Dada la ecuación física para la posición de una partícula en  movimiento parabólico

y = y₀ + V₀t – gt²

donde:

y = altura, t = tiempo

Hallar las dimensiones de  y_0, V_0, y  g

Solución: De acuerdo con el principio de homogeneidad dimensional, se sabe que, todos los términos y en ambos lados de la ecuación son iguales, esto es,

[y] = [y₀] = [V₀t] = [gt²]

recordemos que la posición tiene por dimensión una unidad de longitud, de donde

1) L = [y] ,

2) L = [y₀]; de donde, [y₀] = L

3)  L = [V₀t];  [V₀] [t] =  L;   despejando [V₀] , queda, [V₀]= L/T =  LT^-1

4) L = [gt²] ; [g][t²] = L; despejando [g], queda, [g]= L/T² =  LT^-2

 

2.3.- Propiedades a considerar en el Análisis Dimensional

    Las propiedades a considerar en el análisis dimensional provienen de una variedad de situaciones presentadas en casos bien importantes o especiales para el análisis dimensional, Los casos a desarrollar son los siguientes;  Argumento de una función trigonométrica; argumento de una función logarítmica; argumento de un exponente; propiedad proveniente de la Adición y Sustracción de términos; propiedad proveniente del manejo de Fórmulas Empíricas.

2.3.1.- Argumento de una función trigonométrica

    El argumento de una función trigonométrica es un ángulo, a su vez, un ángulo es un número, la dimensión de un número es la unidad y por consecuencia, la dimensión de un argumento de una función trigonométrica es igual a la unidad. Tal como se señala en la lista de las fórmulas dimensionales básicas; formula identificada con el número 8.

 

Ejemplo Tipo: En la siguiente fórmula física, encuentra la dimensión de x

A = K Cos (2πxt)


Solución: Sabiendo que la dimensión de un ángulo es igual a la unidad, entonces queda
[2πxt] = 1
de donde:
[2π][x][t] = 1
luego:
[x] T = 1
despejando la dimensión de x, esto es, [x]
que para concluir, se obtiene:

[x] = T^-1

 

2.3.2.- Argumento de una función logarítmica

 

    Al igual que en el caso anterior, el argumento de una función logarítmica es igual a la unidad, ya que este argumento es un número. Para ejemplificar se dispone del siguiente ejemplo tipo.

 

Ejemplo tipo: Hallar la dimensión que resulta del producto de las dimensiones de A y de B para la siguiente ecuación

x = A Log (2πB);  con x : longitud

Solución: En este ejercicio se pide el producto designado por [A][B]. Para ello se acude al principio de homogeneidad dimensional, esto es 

[x] = [A log(2πB)]

de donde:

[x] = [A][log (2πB)]

para el argumento del logaritmo, se tiene que:

[2πB] = 1

[2π][B] = 1

luego:

[B] = 1    (1)

por otro lado, por ser el logaritmo un número, también se obtiene que

[log (2πB)] = 1

por lo tanto, para

[x] = [A][log(2πB)]

por homogeneidad

[x] = L,

y 

[A][log(2πB)] = L

esto es:

L = [A].1

de lo cual:

[A] = L

y concluyendo con lo pedido se ha obtenido que:

[A][B] = L.1 = L
 

 2.3.3.- Argumento de una función exponencial
 

     Ocurre lo mismo que en el argumento de una función exponencial, pues el argumento, como es lógico lo constituye el exponente de la mencionada función, de donde se desprende que  la dimensión de un exponente es la unidad, esto es,  [exponente] = [número] = 1. Para ejemplificar este caso, se dispone del siguiente ejemplo tipo.

 

Ejemplo Tipo: En la siguiente formula física, x = A.B^2pikf. Hallar la dimensión de K, siendo X: distancia; f:frecuencia.

 

Solución: Aquí se pide [k], y dado que k se encuentra dentro del exponente de B, entonces

[2πkf] = 1,

de donde

[2π][k][f] = 1

luego

1.[k] = 1/[f]= 1/T^-1

para concluir

[k]  = T

Siendo T, la dimensión obtenida de K.
 

2.3.4.- Propiedad para la adición y sustracción

En la adición y sustracción de términos dimensionales no se cumplen las reglas como ocurre en el algebra. La regla es: Si se suman y/o restan dos o más términos de una misma dimensión, el resultado es el mismo término dimensional, esto es, 

L + L = L

M - M = M

Ejemplo Tipo: En la siguiente formula física, hallar la dimensión de W.

W = (x - h)(x² +a)(a² +y)

Donde: h es temperatura.

Solución: De acuerdo con el principio de homogeneidad dimensional y la propiedad para la adición y sustracción, para cada factor binomial se deduce que

[x-h] =[x] - [h]=  θ - θ = θ
[x² +a ] = [x²]+[a] =  θ^{2 _} θ² =  θ²
[a² + y ] = [a²] + [y] = θ⁴ +θ⁴ = θ⁴
de donde[x-h][x² +a ][a² + y ] = θ.θ² θ⁴ = θ⁷
por lo tanto

[W]=θ⁷

Siendo θ⁷, la dimensión obtenida de W

2.3.5.- Propiedad para el manejo de formulas Empíricas

    Las fórmulas empíricas son todas aquellas fórmulas que se obtienen a través de ecuaciones provenientes de datos experimentales. La esencia de las formulas empíricas es determinar la consistencia de las diversas dimensiones que forman parte de estas, en otras palabras, esta esencia nos permite decidir si la ecuación es dimensionalmente correcta.

Ejemplo tipo I: Partiendo de la Observación, en un experimento se ha determinado  que la fuerza de roce del aire sobre una partícula que cae, está dada en términos de la densidad del aire ρ; en términos del área de sección transversal a la línea del movimiento A; y en términos de la velocidad V del objeto, según la fórmula: 
                                            F= kA^mρⁿV^r
 

en donde K es la constante de proporcionalidad. Encuentra la expresión de la fuerza de roce que ejerce el aire.

 

Solución: Con base en el principio de homogeneidad dimensional, ambos lados de la igualdad deben tener iguales sus dimensiones, de donde, se obtiene

                                                 [Froce]= [K][A]^m[ρ]ⁿ[V]^r

de acuerdo con las fórmulas dimensionales básicas de uso frecuente, dadas arriba, se obtiene:

[Froce]= MLT^-2 ; [A]^m= (  L² )^m= L^2m ; [ρ]ⁿ = ( M.L^-3 )ⁿ= MⁿL^-3n ; y  [V]^r =(LT^-1)^r = L^rT^-r

notemos también que K  es una constante, luego no posee dimensión, es 1 por convenio. Para la igualdad dada al inicio queda:

                       MLT^-2  = L^2m MⁿL^-3n L^rT^-r

operando producto de potencias de igual base, se obtiene la igualdad:

                       MLT^-2 = MⁿL^2m-3n+rT^-r

igualando exponentes de las potencias de igual base, queda que:

para M : n = 1;

para L : 2m -3n + r = 1;

para T: r = 2

haciendo los despejes respectivos y en forma recursiva, se obtienen los valores respectivos: m = 1; n = 1 y r = 2

de donde se obtiene

Froce = KAρV²

que es la fórmula empírica o experimental requerida.

Videos sobre análisis dimensional: Los siguientes video dados en el idioma español latinoamericano, facilitan una vez mas abordar esta herramienta.