Una perspectiva del Movimiento de los Cuerpos, en términos de solo la geometría de la trayectoria.

6.- Movimiento en términos de solo geometría

    La mecánica es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen (las fuerzas), no obstante, en esta entrada veremos el movimiento de los cuerpos bajo las perspectiva, de solo su geometría, esto es, la Cinemática. Mas tarde veremos el estudio del movimiento bajo la perspectiva de solo sus causas, dinámica del movimiento. Si nos vamos a la historia de los orígenes de la cinemática, podremos ubicarlo en físicos como Torricelli (1608-1647) con el estudio de la cicloide; continuando con el enunciada de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano de BERNOULLI (1700 - 1782). Estudiosos como D'ALAMBERT, EULER, KANT y CARNOT, entre algunos, abordaron el movimiento, sin considerar sus causas y fundaron al Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática, fue dado a conocer por  AMPERE (1775 - 1836), quien delimitó su contenido y aclaró su posición en el campo de la Mecánica.

    La cinemática, proviene del vocablo Griego Kinéin (movimiento), se ocupa de la geometría del movimiento, es decir la descripción de este con el soporte matemático de su geometría, mostrando el como se mueven los objetos o cuerpos físicos, sin prestar atención a  las razones por las cuales este ocurre de cierta forma. Un cuerpo físico puede moverse básicamente en dos formas diferentes: movimiento de traslación y movimiento de rotación, o como una composición de los dos  anteriores.

     Para facilitar y simplificar el estudio cinemático del movimiento, se toma el modelo de partícula en la representación de un cuerpo físico, ignorando su tamaño y forma y considerándolo como si fuera un cuerpos puntual; cabe aclarar que la palabra partícula no implica limite de tamaño, esto quiere decir, por ejemplo, que podemos considerar a los plantas del sistema solar como partículas que giran alrededor del sol.

   En el estudio de la cinemática dado a continuación, primeramente se comienza, para fines didácticos, con el estudio del movimiento en una recta (Movimiento Unidimensional); no obstante, sin dejar de lado, los marcos de referencia y los sistemas coordenados a emplear (en una, dos o tres dimensiones), y de seguida se incluyen conceptos y definiciones, tales como, vector posición y vector desplazamiento, rapidez media (etiquetas 7.-), velocidad media (7.2.-) e instantánea (7.3.-), aceleración media (7.4.-) e instantánea 87.5.-), sin olvidar las relaciones matemáticas entre estas magnitudes; mas tarde se estudiara el movimiento en dos y tres dimensiones.

6.1.- Marco o sistema de Referencia, Sistemas Coordenados y Movimiento Relativo.

    El movimiento de un cuerpo es un concepto relativo, puesto que distintos observadores pueden tener marcos  de referencia distintos, en otras palabras, no es posible afirmar que un cuerpo  está en estado de reposo o de movimiento, si no se considera un punto fijo o marco de referencia con respecto al cual podamos definir un estado u otro; simplemente el movimiento depende del sistema o marco de referencia. Dos observadores distintos podrían tener apreciaciones distintas de un mismo cuerpo, en cuanto a, si el cuerpo en estudio esta en reposo o en movimiento y ambas apreciaciones pueden ser verdaderas, dependiendo, por supuesto, del marco de referencia que tiene cada uno de ellos.

     Por ejemplo, veamos la situación que se describe en la figura siguiente, donde se observa a un tren en movimiento, y a dos amigos: Adriana y José. Adriana esta encima de la plataforma de uno de los vagones del tren (O'). A una orilla de la vía se encuentra de pie José (O), observando como pasa el tren.

 

    Una vez que el tren pasa y se detiene más adelante, los dos amigos comienzan a intercambiar sus observaciones.

Actividad: El estudiante lector debe responder por si mismo, las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son las afirmaciones que manifiesta Adriana con respecto a ella misma y al tren  en términos del movimiento?¿Que observa Adriana con respecto a José?, ¿Qué afirma José con respecto a él mismo y luego con respecto a Adriana?, ¿ Ambos tienen la razón, si o no, porqué? Explicar.

Sistemas Coordenados:

    En un mismo marco de referencia pueden emplearse diferentes sistemas de coordenadas, es decir, diferentes maneras de especificar la ubicación de los puntos del objeto en relación con el origen y con los ejes. El sistema que utilizaremos con más frecuencia para la descripción del movimiento es el sistema de coordenadas cartesianas en una, dos, o tres dimensiones. Los otros sistemas de coordenadas importantes son el cilíndrico, y el esférico. A continuación se muestra la figura de un sistema de coordenadas  cartesianas.

 6.2.-Vector de Posición:

    Desde un punto de vista matemático, la posición de un cuerpo en relación con un sistema de referencia se expresa mediante un vector, conocido como vector de posición (r_p ). Si el movimiento es unidimensional este vector posee una sola componente, por ejemplo (x); si el movimiento es bidimensional, se define con dos dimensiones, por ejemplo (x , y); y si la partícula se mueve en el espacio, este vector tendrá tres componentes o coordenadas (x, y, z). En la siguiente figura se muestra la representación gráfica del vector posición  en dos casos, esto es, (a) en el plano y (b) en el espacio. Vale resaltar que el vector posición va desde el origen del sistema de referencia al punto P de la trayectoria.



    De manera general, el vector posición en función del tiempo queda definido como:

r_p (t)= x(t) î + y(t) ĵ , en el plano cartesiano,  y 



r_p (t)= x(t) î + y(t) ĵ+z(t)k̂ , en el espacio (tridimensional).

6.3.- Ecuaciones paramétricas:

Las funciones x=x(t), y=y(t) y z=z(t) son descripciones independientes del movimiento a lo largo de cada una de las coordenadas cartesianas. Estas funciones dependen de una variable común, el tiempo t y se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento, siendo t, el parámetro.

6.4.- Trayectoria y Desplazamiento.

    Se denomina trayectoria al lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando el cuerpo o partícula móvil en el espacio. Si los puntos que va ocupando el móvil en sucesivos instantes quedan en una línea curva, la trayectoria se le denomina curvilínea. Si los puntos quedan en una línea recta, la trayectoria es rectilínea. Esta entrada del  blog se centra en el estudio de la cinemática  del movimiento rectilíneo, mas tarde se estudiará el movimiento curvilíneo, y parabólico. En la siguiente representación gráfica, se muestran las trayectorias mediante curvas de colores para tres cuerpos diferentes.



               El desplazamiento  Δr, es el vector que se define por el cambio de la posición de una partícula móvil que va desde el vector posición inicial X0 = XA  hasta el vector posición final  X_{f  =} X_B, y es independiente de la trayectoria descrita, es decir, los tres  cuerpos lila, verde y rojo, pueden moverse de la posición inicial A hasta la posición final B   por diferentes caminos y el desplazamiento Δr de estas partículas es el mismo para los tres (vector color naranja). El desplazamiento puede determinarse empleando las siguientes expresiones, en una dimensión, en dos dimensiones o en tres dimensiones respectivamente

Δr = Δ_x= (x_f – x₀) î

Δr = r_f - r₀ = (x_f – x₀) î + (y_f ­- y₀) ĵ
Δr = r_f - r₀ = (x_f – x₀) î + (y_f ­- y₀) ĵ + (Zf -Z₀) k

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Observaciones: Las curvas de colores  en la gráfica de la figura dada arriba, son las trayectorias que describen cada una de las partículas y representan sus distancias o recorridos. Existen situaciones de movimientos en una dimensión, en que la distancia y el desplazamiento de una partícula coinciden en magnitud y en dirección.  Podemos también encontrar que ante una distancia recorrida, el desplazamiento resulta ser igual a cero, lo cual ocurre cuando la posición final y la posición inicial coinciden. simbólicamente queda, XA = X_B  
OTRA FORMA DE REPRESENTAR EL VECTOR DESPLAZAMIENTO: Para ello se emplea el plano cartesiano de los vectores de posición en función del  cambio en el tiempo (ver figura siguiente)

  Suponga una partícula móvil que describe una trayectoria representada en el plano XY, siendo su vector de posición r(t) en el instante de tiempo t, indicado como sigue, r(t) = x(t)i + y(t)j, cuyo extremo es el punto P, tal como lo indica la gráfica anterior. En un instante de tiempo Δt después, el vector de posición r(t + Δt ) que tiene su extremo en Q, toma la forma r(t+Δt )=x(t+Δt)i + y(t+Δt)j;  luego, llamemos vector desplazamiento Δr al vector dado por la diferencia                       Δr = r_pq = r(t+Δt) -r(t) en el intervalo de tiempo [t, t + Δt]. Es importante observar que el vector desplazamiento no coincide con el camino recorrido cuando la trayectoria no es una recta.

Ejemplo tipo:

  Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria cuyo vector de posición viene dado por la expresión:
                                                                r(t) = ti + 3t²j      (t en s;  x,y en m)
 Se requiere que encuentre la posición de la partícula en los siguientes instantes de tiempo, cuando t=2s, y cuando t=3s. De igual manera, encuentre el vector desplazamiento en el intervalo [2s, 3s].

Solución: Se encuentran separadamente las componentes cartesianas de los puntos extremos de los vectores de posición, ellos son p=r(2) y q = r(3), y por último se encuentra la diferencia de los mencionados vectores r(3) - r(s) para determinar el vector desplazamiento.
p=r(2)=2i + 3(2)²j = 2i + 12j = (2 , 12)
q=r(3)=3i+3(3)²j = 3i+27j= (3 , 27)
Δr_pq=r(3) - r(2) = (3i+27j)-(2i+12j) =i + 15j.
nota: Gráficamente este vector podría quedar tal como se muestra en la siguiente figura del plano cartesiano.